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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.3. Hallar un valor NN a partir del cual todos los terminos a partir de dicho NN verifiquen que
a) an=n2−8n−3a_{n}=n^{2}-8 n-3 sea mayor que 0

Respuesta

En este ejercicio queremos encontrar para qué nn se empieza a cumplir que

n2−8n−3>0n^{2}-8 n-3 > 0

Ahora, fijate que lo que tenemos a la izquierda lo podemos pensar por un instante como una función cuadrática, que sabemos graficarla y todo: En este caso, la función x2−8x−3x^2 - 8x - 3 es una cuadrática carita feliz (cóncava hacia arriba) y sus raíces son x1=4+19≈8.35... x_1 = 4 + \sqrt{19} \approx 8.35... y x2=4−19≈−0.35 x_2 = 4 - \sqrt{19} \approx -0.35 .

Con los datos que tenés hace el gráfico en tu hoja o en GeoGebra. Y ahora que ya la tenemos, volvamos a nuestra n2−8n−3n^{2}-8 n-3, donde la variable es nn y solamente puede tomar números naturales. Te hago un esquemita en la tablet para que lo veas:

2024-05-01%2010:12:16_5462039.png

Por lo tanto, con este análisis nos dimos cuenta que a partir de n=9n = 9 se cumple que

n2−8n−3>0n^{2}-8 n-3 > 0
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